7.1 FUNGSI-FUNGSI KONTINU
Defenisi :
Misalkan (X,τ) dan (Y, τ*) adalah ruang-ruang topologi. Dan suatu fungsi f dari X ke Y disebut kontinu relatif ke τ dan τ*, atau kontinu τ – τ* , atau kontinu, bila dan hanya bila bayangan invers f-1 [H] dari tiap τ* dengan H subset buka dari Y adalah anggota τ yang merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila:
H ϵ τ*, maka f-1[H] ϵ τ.
Kita tulis f : (X,τ) → (Y, τ*) untuk suatu fungsi dari X ke Y, di mana fungsi tersebut menunjukkan fungsi di dalam topologi.
Contoh:
- Misalkan topologi-topologi pada X= {a, b, c} dan Y= {x, y, z, w} adalah:
τ = {X, ϕ, {a}, {a, b}, {a, b, c}}
τ* ={ X, ϕ ,{x}, {y}, {x, y}, {y, z, w}}
|
x y z w |
fungsi-fungsi f : X → Y didefenisikan oleh gambar berikut:
|
a b c d |
|
a b c d |
|
x y z w |
f g
apakah fungsi f dan g kontinu?
Jawab:
- Untuk fungsi f: X ® Y
Invers Y ® X
Invers f ® f
Invers {x}® f
Invers {y} ® {a}
Invers {x,y} ® {a}
Invers {y,z,w} ® X
Jadi, fungsi f adalah kontinu, karena invers dari tiap-tiap anggota dari topologi τ* pada Y adalah anggota dari topologi τ pada X.
- Untuk fungsi g: X ® Y
Invers Y ® X
Invers f ® f
Invers {x}® {a,b}
Invers {y} ® f
Invers {x,y} ® {a, b}
Invers {y,z,w} ® {c, d}
Jadi, fungsi g tidak kontinu, karena {y, z, w} ϵ τ* yaitu subset buka dari Y, tetapi bayangan (peta) invers g-1 [{y, z, w}] = {c, d} bukan subset buka dari X atau {c, d} tidak termasuk dalam τ.
- Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,t). Maka tiap fungsi
f: X → Y adalah D – t kontinu, karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers f-1 [H] adalah subset buka dari X, dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka.
Proposisi1
Fungsi f : X→ Y adalah kontinu bila dan hanya bila invers dari tiap anggota basis Buntuk Y adalah subset buka dari X.
TEOREMA 2. Misal adalah basis bagian untuk ruang topologi Y. Maka fungsi f : X® Y adalah kontinu bila dan hanyan bila bila invers tiap-tiap anggota…. adalah sub-sub buka dari X.
Contoh 3
Pemetaan-pemetaan proyeksi dari bidang R2ke dalam garis R keduanya kontinu ke topologi biasa. Misalnya, proyeksi p : R2 ® R didefenisikan oleh p ((x,y)) = y. Maka invers dari suatu interval buka (a,b) adalah pita buka tak hingga yang diilustrasikan seperti berikut:
——————b———————–
——————-a———————–
p-1 [(a,b)] adalah daerah berbayang-bayang. Jadi menurut proposisi 1, invers dari tiap subset buka dari R adalah buka dalam R2, jadi p kontinu.
7.2FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
Misal X adalah ruang topologi. Titik p Î X disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set A Ì X bila
(i) p Î A atau
(ii) p adalah titik kumpul dari A
Ingat bahwa = A È A’, jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa = A° È b (A). Jadi p adalah tutup sebarang terhadap A, karena p adalah titik interior atau titik batas dari A.
Fungsi – fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi – fungsi dengan tutup sebarang utuh, seperti berikut:
TEOREMA 4: Fungsi f : X → Y adalah kontinu bila dan hanya bila, untuk p Î X dan AÌ X;
“p tutup sebarang ke A, maka f (p) tutup sebarang ke f[A], atau
7.3KONTINU PADA SATU TITIK
Suatu fungsi f : X → Y adalah kontinu di titik p ϵ X bila dan hanya bila bayangan invers f-1[H] dari tiap set buka H Y yang memuat f(p) adalah superset dari set buka G G yang memuat p, atau bila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p, yaitu
N ϵ N f(p) → f-1 [N] ϵ N p
Perhatikan bahwa, berkaitan dengan topologi biasa pada garis real R, defenisi tadi serupa dengan defenisi ϵ – δ dari kontinu suatu titik untuk fungsi-fungsi f : R → R. ternyata, hubungan antara kontinu local dan kontinu umum (global) untuk fungsi-fungsi f : R → R dipenuhi secara umum seperti dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema: misal X dan Y masing-masing ruang topologi. Maka fungsi f : X → Y adalah kontinu bila dan hanya bila f : X → Y kontinu pada tiap titik dari X.
fijrakembar 