>
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Dalam perubahan masa,waktu,dan zaman cabang ilmu matematika juga mengalami perubahan dalam perkembangannya.Dari abad ke abad cabang ilmu matematika mengalami perubahan.Salah satunya adalah cabang ilmumatematika tentang aljabar.Sebelum sampai kepada bentuk aljabar yang kita pelajari pada zaman sekarang,bentuk aljabar telah mengalami perkembangan dan kemajuan dari abad-abad sebelumnya.
Para ilmuan abad 16 telah berhasil menemukan dan mengembangkan ilmu tentang aljabar.Untuk itu penulis mencoba untuk membahas tentang “ MATEMATIKA ABAD 16”,untuk mengetahui perkembangan ilmu matematika tentang aljabar dari para ahli ilmuan pada abad tersebut
2. Batasan Masalah
a. Bagaimanakah bentuk-bentuk aljabar dalam lambang-lambang?
b. Bagaimanakah cara penyelesain persamaan pangkat tiga?(aljabar yang berdiri sendiri)
c. Bagaimanakah bentuk aljabar dengan menggunakan huruf?
d. Bagaimanakah cara penyelesaian persamaan derajat tinggi?
3. Tujuan Penulisan
a. Mengetahui bentuk aljabar dalam lambang
b. Mengetahui bentuk aljabar yang berdiri sendiri atau cara menyelesaikan persamaan pangkat tinggi
c. Mengetahui bagaimana menyusun aljabar dengan menggunakan huruf
d. Mengetahui cara menyelesaikan soal persamaan derajat tinggi
Matematika abad 16
1. Menuju Aljabar dengan Lambang-lambang
Robert Recorde (± 1510-1558) menulis karya dalam aljabar,geometri dan astronomi.th 1557 ia menulis aljabar dengan judul “THE WHETSTONE OF DE WITTE”,dala buku ini pertama kali digunakan lambang “=” untuk kesamaan yang digunakan zaman sekarang.
Christoff Rudolf (±1525) menulis buku aljabar dengan judul “DIE COSS”,dalam buku ini dikenalkan lambang “√”
Michael Stifel (1486-1567),seorang biarawan jerman,menerbitkan buku dengan judul “ARITHMATICA INTEGRA” pada tahun 1553.dalam buku ini menguraikan bilangan rasional,irasional,deret aritmatika,deret geometri dan koofesien binomial hingga pangkat ke tujuh.
Dalam buku itu memakai lambang +,-,dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tidak diketahui.
2. Aljabar yang berdiri sendiri
Spione del Ferro (1465-1526) pada th menulis persamaan pangkat tiga x³ + mx = n,tetapi tidak menerbitkannya.
Tartaglia (1499-1557) lahir di Brescia Italia,putra seorang petani miskin.pada serbuan perancis ke italia ia disiksa sehingga tak dapat berbicara dengan baik.pada tah penemuannya menyelesikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x³ + px² = n.
Girolamo Cardano ( 1501-1576) menulis arimatika,asronomi,fisika.karyanya yang paling terkenal mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”,ditulis pada tahun 1545,dalam buku ini di muat hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat 3.
Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negatif.ia sudah menghitung dengan bilangan imajiner,menghitung akar persamaan dengan pendekatan tertentu.metode menyelesaikan persamaan x³ + mx = n dikerjakan sebagai berikut :
(a-b)³ +3ab(a-b) =a³ – b³
Jika dipilih 3ab = m,a³ – b³ = n dan a – b = x
3ab = m,b =m/3a maka a³ – b³ =a³ – ( m/3a)³= n
a⁶ – (m/3 )³ = n a ³ => (a³)² – na³ – (m/3)³= 0
a³ = n ± √n² + 4 (m/3)³
2
a= ³√ (n/2) + √(n/2)² + (m/3)
dengan cara sama ditentukan
³√-(n/2) +√(n/2)² = (m/3)³
Pada tahun 1540 Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat,tetapi ia tak dapat menyelesaikannya.Ferrari berhasil menyelesaikan persamaan itu ialah:
x⁴ +px² +qx + r = 0
x⁴ + 2px² + p² = px² – qx- r+ p²
(x² + p)² = px² – qx + p² – r
Dibentuk lagi persamaan
( x + p+ y ) = px² + qx + p² – r -2y(x² + p) + y²
= (p + 2y)x + qx + (p² – r + 2py + y² ) = 0
Supaya ruas kanan menjadi kuadrat sempurna harus dipenuhi:
q² – 4(p+2y)( p² – r – 2py + y² ) = 0
q² – 4p³ + 4pr -8p²y -4y² – 8p³y + 8ry – 16py² – 8y³ = 0
8y³ + (4+16p)y³ +(8p²-8p³-8r)y -q² +4p³ – 4pr = 0
8y³+ (8p²-8p³-8r) + (4p³-4pr-q²) = 0
Rafael Bombelli menulis aljabar (1572).ia menulis syarat penyelesaian persamaan pangkat tiga x³ + mx = n.
Jika (n/2)² + (m/3)³ < 0 ,maka penyelesaian pangkat tiga itu mempunyai tiga akar real,ia memperbaiki notasi penulisan aljabar ahli sebelunya.ia menggunakan tanda kurung dengan lambang ‘L˩”.Bombelli membedakan penulisan akar pangkat dua dengan Rq dan akar pangkat tiga dengan Rc.
Untuk menulis akar dari bilangan negatif misalnya √-2 ditulis dengan “dim Rg 11 “
Misalnya Bombelli akan menulis
³√5 + √-2 sebagai Rc L5p di m Rq 2˩
3. Aljabar menggunakan huruf
Francois Viete ( 1540-1630) ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul “CANON MATHEMATICUS SEU AD TRIANGULA”.Ia menyatakan cos n Ө , n =1,2,…,9 dengan cosƟ.
Sebelum viete lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf berbeda walau basisnya sama.ia sudah memakai lambang + dan -,tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan.untuk A² ditulis A quad,A³ di tulis A cub,dst.
4. Persamaan derajat tinggi
Metode Vitae terhadap persamaan kuadrat x² +mx = n,dikerjakan sebagai berikut:
Andaikan x₁ pendekatan salah satu akarnya,x₁ + x₂ pendekatan,maka:
(x₁ + x₂)² + m(x₁ + x₂) = n
x² + 2x₁x₂ + mx₁ + mx₂ = n
bila x₂ demikian kecil sehingga x₂² dapat di abaikan,sehinnga diperoleh
x₁² + 2x₁x₂ + mx₁ + mx₂ = n
x₂(2x₁ + m) = n – x₁² – mx₁ atau
x₂ = m – x₁² -2mx₁
2x₁ + m
Persamaan x³ + 3ax = 2ab diselesaikan sebagai berikut:
Misal x =a/y – y,maka
(a/y – y³) + 3a (a/y – y) =2b
a³/y³ – 3 a²/y².y + 3 a/y.y² -y³ + 3a²/y – 3ay = 2b
a³/y³ – 3a²/y +3ay -y³ +3a²/y – 3ay = 2bx
a³ – y⁶ = 2by³ – a³
(y³)² +2b(y)³ = a³
Direduksi menjadi peramaan kuadrat dalam y³ kemudian diselesaikan untuk x.
Ferrari (1522-1565) menyelesaikan pangkat empat dalam bentuk:
x⁴ + ax² + bx = c atau x⁴ = c – ax² – bx
cara Ferrari adalah sebagai berikut:
pada ruas kiri dan kanan ditambah x²y² + y⁴/4 maka
x⁴ + x²y² + y⁴/4= x²y² +y⁴/4 – ax² + bx + c
(x² + y²/2)² = (y² – a)x² -bx + y⁴/4 + c)
Dipilih y sehinnga ruas kanan menjadi kuadrat sempurna,yaitu bila dipenuhi
b² – 4(y² -a )(y⁴/4 + c) atau
y⁶ – ay⁴ + 4cy² = 4ac + b²
5. Mengakiri abad 16
Simon Stevin (1548-1620) dari belanda menulis aritmatika menulis tentang pecahan desimal,statistik dan hidrostatika.
Nicolas Copernicus (1473-1543) dari polandia menulis teori alam semesta,menulis perbaikan trigonometri.
George Joachim Rhaeticus(1514-1575) murid covernicus , ia menyusun tabel trigonometri dan 6 fungsi dalam interval detik
Rhaeticus mendefenisikan fungsi trigonomtri dinyatakan dengan segitiga siku-siku.
Pada akhir abad 16,perkembangan matematika sudah meletakkan dasar perkembangan selanjutnya yang cepat pada abad 17.
fijrakembar 