Fungsi-fungsi kontinu

7.1 FUNGSI-FUNGSI KONTINU

Defenisi :

Misalkan (X,τ) dan (Y, τ*) adalah ruang-ruang topologi. Dan suatu fungsi f dari X ke Y disebut kontinu relatif ke τ dan τ*, atau kontinu τ – τ* , atau kontinu, bila dan hanya bila bayangan invers f-1 [H] dari tiap τ* dengan H subset buka dari Y adalah anggota τ yang merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila:

H  ϵ τ*, maka f-1[H] ϵ τ.

Kita tulis f : (X,τ) → (Y, τ*) untuk suatu fungsi dari X ke Y, di mana fungsi tersebut menunjukkan fungsi di dalam topologi.

Contoh:

  1. Misalkan topologi-topologi pada X= {a, b, c} dan Y= {x, y, z, w} adalah:

τ = {X, ϕ, {a}, {a, b}, {a, b, c}}

τ* ={ X, ϕ ,{x}, {y}, {x, y}, {y, z, w}}

 

  x

y

z

w

fungsi-fungsi f : X → Y didefenisikan oleh gambar berikut:

 

  a

b

c

d

  a

b

c

d

  x

y

z

w

 

 

 

 

 

 

 

 

f                                                              g

apakah fungsi f dan g kontinu?

Jawab:

  1. Untuk fungsi f: X ® Y

Invers Y ® X

Invers f  ® f

Invers {x}® f

Invers {y} ® {a}

Invers {x,y} ® {a}

Invers {y,z,w} ® X

Jadi, fungsi f adalah kontinu, karena invers dari tiap-tiap anggota dari topologi τ* pada Y adalah anggota dari topologi τ pada X.

  1. Untuk fungsi g: X ® Y

Invers Y ® X

Invers f  ® f

Invers {x}® {a,b}

Invers {y} ® f

Invers {x,y} ® {a, b}

Invers {y,z,w} ® {c, d}

Jadi, fungsi g tidak kontinu, karena {y, z, w} ϵ τ* yaitu subset buka dari Y, tetapi bayangan (peta) invers g-1 [{y, z, w}] = {c, d} bukan subset buka dari X atau {c, d} tidak termasuk dalam τ.

  1. Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,t). Maka tiap fungsi

f: X  →  Y adalah D – t kontinu, karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers f-1 [H] adalah subset buka dari X, dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka.

Proposisi1

Fungsi f : X→ Y adalah kontinu bila dan hanya bila invers dari tiap  anggota basis Buntuk Y adalah subset buka dari X.

TEOREMA 2. Misal    adalah basis bagian untuk ruang topologi Y. Maka fungsi f : X® Y adalah kontinu bila dan hanyan bila bila invers tiap-tiap anggota….         adalah sub-sub buka dari X.

Contoh 3

Pemetaan-pemetaan proyeksi dari bidang R2ke dalam garis R keduanya kontinu ke topologi biasa. Misalnya, proyeksi p : R2 ® R didefenisikan oleh p ((x,y)) = y. Maka invers dari suatu interval buka (a,b) adalah pita buka tak hingga yang diilustrasikan seperti berikut:

——————b———————–

——————-a———————–

 

p-1 [(a,b)] adalah daerah berbayang-bayang. Jadi menurut proposisi 1, invers dari tiap subset buka dari R adalah buka dalam R2, jadi p kontinu.

7.2FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG

Misal X adalah ruang topologi. Titik p Î X disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set A Ì X bila

(i)                 p Î A atau

(ii)               p adalah titik kumpul dari A

Ingat bahwa = A È A’, jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa  = A° È b (A). Jadi p adalah tutup sebarang terhadap A, karena p adalah titik interior atau titik batas dari A.

Fungsi – fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi – fungsi dengan tutup sebarang utuh, seperti berikut:

TEOREMA 4: Fungsi f : X → Y adalah kontinu bila dan hanya bila, untuk p Π X dan AÌ X;

“p tutup sebarang ke A, maka f (p) tutup sebarang ke f[A], atau

7.3KONTINU PADA SATU TITIK

Suatu fungsi f : X → Y adalah kontinu di titik p ϵ X bila dan hanya bila bayangan invers f-1[H] dari tiap set buka H Y yang memuat f(p) adalah superset dari set buka G  G yang memuat p, atau bila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p, yaitu

N ϵ N f(p) → f-1 [N] ϵ N p

Perhatikan bahwa, berkaitan dengan topologi biasa pada garis real R, defenisi tadi serupa dengan defenisi ϵ – δ dari kontinu suatu titik untuk fungsi-fungsi f : R → R. ternyata, hubungan antara kontinu local dan kontinu umum (global) untuk fungsi-fungsi f : R → R dipenuhi secara umum seperti dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema: misal X dan Y masing-masing ruang topologi. Maka fungsi f : X → Y adalah kontinu bila dan hanya bila f : X → Y kontinu pada tiap titik dari X.

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: